Техника нахождения пределов

Теоретическая сводка

Если $a_n \to a, \ n\to \infty$ и $b_n \to b, \ n\to \infty$ , то

$\begin{align*} 1) & \lim_{n \to \infty} \left( a_n \pm b_n \right) = a \pm b,\\ 2) & \lim_{n \to \infty} \left( a_n \cdot b_n \right) = a \cdot b,\\ 3) & \lim_{n \to \infty} \left( k \cdot b_n \right) = k \cdot a, \ k \in \mathbb{R},\\ 4) & \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} \; \; \: \left( b \neq 0, \ \forall n \in \mathbb{N}: \ b_n \neq 0 \right) .\end{align*}$

Если $c_n$ — ограниченная последовательность и $d_n \to 0, \ n \to \infty$ , то

$\lim_{n \to \infty} c_n \cdot d_n = 0 .$

Некоторые пределы, найденные по определению,

$\begin{align*} 1) & \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{\alpha}} = 0, \ \alpha > 0, &6) & \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{k} = 1, \ k > 0, \\ 2) & \lim_{n \to \infty} a^{n} = 0, \ \left| a \right| < 1, &7) &\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1, \\ 3) & \lim_{n \to \infty} \frac{n^{\beta}}{b^{n}}, \ \beta\in \mathbb{R}, \ \left| b \right| > 1, &8) & \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0, \\ 4) & \lim_{n \to \infty} \frac{\left( \text{log}_d n\right)^{\gamma}}{n^{\delta}}, \ d > 1, \ \gamma \in \mathbb{R}, \ \delta > 0, &9) & \lim_{n \to \infty} \frac{l^{n}}{n!} =0, \ l \in \mathbb{R} \\ 5) & \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e, &10) & \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^{n}} =0 .\end{align*}$

Задачи и упражнения

Уровни сложности задач

простая задача

средняя задача

сложная задача

олимпиадная задача

Скачать все решения в .pdf формате

Задача простая (1)

Вычислить предел

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n^{3}+1} .$

Вынесите $n$ и $n^{3}$ из числителя и знаменателя дроби соответственно, а далее рассмотрите предел произведения двух получившихся последовательностей.

Вынесем $n^{3}$ из знаменателя дроби и $n$ — из числителя. Получим произведение двух сходящихся последовательностей, стремящееся к произведению их пределов,

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n^{3}+1} = \lim_{n \to \infty} \underbrace{\frac{n}{n^{3}}}_{\to 0} \cdot \overbrace{\frac{2}{1 + \underbrace{\frac{1}{n^{3}}}_{\to 0}}}^{\to 2} = 0 \cdot 2 = 0 .$

Для наглядности визуализируем полученный результат.

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача простая (2)

Вычислить предел

$\lim_{n \to \infty} \left( -1 \right) ^{n} \cdot 0.9^{n} \cdot \cos \left( n^{3}\right) .$

Обратите внимание, что $\left( -1 \right) ^{n}$ и $\cos \left( n^{3} \right)$ — ограниченные последовательности.

Рассмотрим данную последовательность как произведение трёх последовательностей. Заметим, что $\left( -1 \right) ^{n} \le 1$ и $\cos\left( n^{3} \right) \le 1$ — ограниченные последовательности, а $0.9^{n} \to 0, \ n\to \infty$ — известный предел (общий член геометрической прогрессии с знаменателем меньше единицы).

Поскольку произведение органиченной последовательности на бесконечно малую последовательность стремится к нулю, получим

$\lim_{n \to \infty} \left( -1 \right) ^{n} \cdot 0.9^{n} \cdot \cos \left( n^{3}\right) = 0 .$

Для наглядности визуализируем полученный результат.

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача простая (3)

Вычислить предел

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}} \cdot \cos \left( 10n \right) }{n + 3} .$

Вынесите $\sqrt[3]{n^2}$ и $n$ из числителя и знаменателя дроби соответственно и рассмотрите получившийся предел произведения последовательностей.

Вынесем $\sqrt[3]{n^2}$ и $n$ из числителя и знаменателя дроби соответственно и получим произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}} \cdot \cos \left( 10 n \right) }{n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{\frac{2}{3}}}{n} \cdot \frac{\overbrace{\cos\left( 10 n \right) }^{\le 1}}{\underbrace{1 + \frac{3}{n}}_{\to 1}} = 0 .$

Для наглядности визуализируем полученный результат.

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача простая (4)

Вычислить предел

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right) .$

Дополните общий член последовательности до разности квадратов, умножив и разделив $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ на соответствующее выражение.

$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \lim_{ n \to \infty} \frac{\left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right) \left( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \right) }{\sqrt{n+1} + \sqrt{n} }=$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n} } .$

Поскольку $0<\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n} } < \frac{1}{2\sqrt{n} }$ и $\frac{1}{2\sqrt{n} }\to 0, \ n \to \infty$ , по теореме о зажатой переменной (теорема о двух милиционерах)

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n} } = 0 .$

Итак,

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \right) = 0 .$

Для наглядности визуализируем полученный результат.

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача простая (5)

Вычислить предел

$\lim_{n \to \infty} \frac{\left( -a \right) ^{n} + b^{n}}{\left( -a \right) ^{n+1} + b^{n+1}}, \ 0 < a < b .$

Вынесите $b^{n}$ и $b^{n + 1}$ из числителя и знаменателя соответственно.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\left( -a \right) ^{n} + b^{n}}{\left( -a \right) ^{n+1} + b^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{b^{n}}{b^{n+1}}\cdot \frac{1 + \left( - \frac{a}{b} \right) ^{n}}{1 + \left( -\frac{a}{b} \right) ^{n+1}} =$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{b} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \overbrace{\left( - \frac{a}{b} \right) ^{n}}^{\to 0}}{1 + \underbrace{\left( -\frac{a}{b} \right) ^{n+1}}_{\to 0}}= \frac{1}{b} .$

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача простая (6)

Найдите предел

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + a + a^2 + \ldots +a^{n}}{b + b^2 + b^{3} + \ldots + b^{n + 1}}, \ \left| b \right| , \left| a \right| < 1 .$

Воспользуйтесь формулой для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S^{g}_n = b_1 \frac{\left( q^{n}- 1 \right) }{\left( q- 1 \right) }$ , где общий член прогрессии имеет вид $a_n = b_1q^{n - 1}$ .

Воспользуемся формулой для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S^{g}_n = b_1 \frac{\left( q^{n}- 1 \right) }{\left( q- 1 \right) }$ , где общий член прогрессии имеет вид $a_n = b_1q^{n - 1}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + a + a^2 + \ldots+ a^{n}}{b + b^2 + b^{3} + \ldots + b^{n + 1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{a^{n+1}- 1}{a - 1}}{b\cdot \frac{b^{n+1}-1}{b - 1}}$

$= \frac{b-1}{\left( a-1 \right) \cdot b} \cdot \underbrace{\lim_{n \to \infty} \frac{a^{n+1}-1}{b^{n+1}-1}}_{= 1} = \frac{b-1}{\left( a-1 \right) \cdot b} .$

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача простая (7)

Вычислить предел

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \ldots + \frac{n-1}{n^2} \right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{n^2} .$

Воспользуйтесь формулой для суммы первых $n$ членов арифметической прогресии.

Для упрощения выражения воспользуемся формулой для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии $S^{a}_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 } \cdot \sum_{k=1}^{n-1} k = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1 + n-1}{2}\cdot \left( n-1 \right) =$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{2n} = \lim_{n \to \infty} \Big( \frac{1}{2}- \underbrace{\frac{1}{2n}}_{\to 0} \Big) = \frac{1}{2} .$

Для наглядности визуализируем полученный результат.

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача средняя (8)

Вычислить предел

$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{1}{n}- \frac{2}{n}+ \frac{3}{n}- \ldots+\frac{\left( -1 \right)^{n-1} \cdot n}{n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \sum_{k=1}^{n} \frac{\left( -1 \right)^{k-1} \cdot k}{n}\right| .$

Рассмотрите знаменатель общего члена последовательности отдельно для $n$ чётного и $n$ нечётного. Покажите, что в обоих случаях пределы подпоследовательностей совпадают. Пользуясь теоремой о двух милиционерах, сделайте вывод о сходимости последовательности.

Рассмотрим числитель общего члена последовательности для $n$ чётного

$1 - 2 + 3 - \ldots - n = \left( 1 - 2 \right) + \left( 3 - 4 \right) + \ldots + \left( n-1 - n \right) = -\frac{n}{2}$

и для $n$ нечётного

$1 -2 + 3 - \ldots + n = \left( 1 -2 \right) + \ldots + \left( n-2 - \left( n-1 \right) \right) + n = - \frac{n-1}{2} + n .$

Тогда общий член последовательности (обозначим его $a_n$ ) лежит на между

$\frac{1}{2} =\left| \frac{-\frac{n}{2}}{n} \right| \le a_n \le \left| \frac{-\frac{n-1}{2}+n}{n} \right| = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} .$

Поскольку $\frac{1}{2} + \frac{1}{2n}\to \infty, \ n\to \infty$ , по теореме о зажатой последовательности (теорема о двух милиционерах) $a_n \to \frac{1}{2}, \ n\to \infty$ .

Для наглядности визуализируем полученный результат.

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача простая (9)

Вычислить предел

$\lim_{n \to \infty} \frac{1^2}{n^{3}} + \frac{2^2}{n^{3}} + \ldots+ \frac{\left( n-1 \right)^2}{n^{3}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k^2}{n^{3}} .$

Воспользуйтесь формулой

$\sum_{k =1}^{n} k^2= 1^2 + 2^2 +\ldots + n^2 = \frac{n \left( n+1 \right) \left( 2n +1 \right) }{6} .$

Воспользуемся известной формулой (см. «Математическая индукция»)

$\sum_{k =1}^{n} k^2= 1^2 + 2^2 +\ldots + n^2 = \frac{n \left( n+1 \right) \left( 2n +1 \right) }{6} .$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}} \sum_{k=1}^{n} k^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{n \left( n+1 \right) \left( 2n +1 \right) }{6n^{3}} =$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6} \cdot \underbrace{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)}_{\to 1} \underbrace{\left( 2 + \frac{1}{n} \right)}_{\to 2} = \frac{1}{3} .$

Для наглядности визуализируем полученный результат.

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача средняя (10)

Вычислить предел

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^{3}} + \ldots + \frac{2n - 1}{2^{n}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2^{k}} .$

Используя известную формулу (см. «Математическая индукция»)

$1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} 2^{k} = 2^{n}- 1$

или напрямую при помощи математической индукции, докажите следующее равенство

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{2^{n}} = 1 -\frac{1}{2^{n}}$

и воспользуйтесь им для упрощения общего члена рассматриваемой последовательности.

Разложим общий член последовательности на группы сумм следующим образом

$\begin{align*} a_n = \frac{1}{2} + \frac{3}{2^{2}} + \frac{5}{2^{3}} + \frac{7}{2^{4}}+ \ldots + \frac{2n -1}{2^{n}} =\\ = \ 1\cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}} \right) + \\ + \ 2\cdot \left( \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} +\ldots+ \frac{1}{2^{n}} \right) + \\ + \ 2\cdot \left( \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} +\ldots+ \frac{1}{2^{n}} \right) + \\ +\; \; \: \; \; \: \ldots \; \; \: \; \; \: +\\ + \ 2 \cdot \left( \frac{1}{2^{n}} \right) .\end{align*}$

Вычислим суммы, находящиеся в скобках, используя известную формулу (см. «Математическая индукция»),

$1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} 2^{k} = 2^{n}- 1 .$

Итак,

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \ldots + \frac{1}{2^{n}} = \frac{2^{n-1} + 2^{n-2} + \ldots + 1}{2^{n}} = \frac{2^{n} -1}{2^{n}} .$

Подставим полученное выражение в разложенный ранее в группы сумм общий член последовательности

$\begin{align*} a_n = \ 1\cdot \left( 1 - \frac{1}{2^{n}} \right) + \\ + \ 2 \cdot \frac{1}{2}\cdot \left( 1 - \frac{1}{2^{n-1}} \right) + \\ + \ 2\cdot \frac{1}{2^{2}} \cdot \left( 1 - \frac{1}{2^{n-2}}\right) + \\ +\; \; \: \; \; \: \ldots \; \; \: \; \; \: +\\ + \ 2 \cdot \frac{1}{2^{n-1}} \left( 1 -\frac{1}{2^{n - \left( n-1 \right) }} \right) .\end{align*}$