Определение предела функции

Теоретическая сводка

Дорогой читатель, обращаю Ваше внимение на то, что все задачи данного раздела особенно трудные и имеют сугубо теоретическую ценность. Если у Вас не получается разобрать данный материал — не отчаивайтесь, рассмотрите следующие разделы и возвращайтесь к этой теме позднее!

Окрестностью точки $a$ называется любой интервал $U_a = \left( \alpha, \beta \right) \subset \mathbb{R}$ , содержащий эту точку. Интервал

$U_{a}\left( \epsilon \right) \overset{\text{def}}{=} \left( a - \epsilon, a + \epsilon \right) = \left\{ x \in \mathbb{R}: \ \left| x - a \right| < \epsilon \right\}$

называется $\epsilon$ -окрестностью точки $a$ . Множество

$U^{\circ}_a = U_a \setminus \left\{ a \right\} \; \; \: \left( U^{\circ}_a\left( \epsilon \right) = U_a\left( \epsilon \right) \setminus \left\{ a \right\} \right)$

называется проколотой ( $\epsilon$ -) окрестностью точки $a$ .

Окрестностью бесконечности $\infty$ называется любое множество

$U_\infty = \left( -\infty, \alpha \right) \cup \left( \beta, +\infty \right) \subset \mathbb{R} .$

Аналогично вводятся окрестности минус $\left( -\infty \right)$ и плюс $\left( +\infty \right)$ бесконечностей

$U_{-\infty} = \left( -\infty, \alpha \right) \subset \mathbb{R}, \; \; \: U_{+\infty} = \left( \beta, +\infty \right) \subset \mathbb{R} .$

Элемент $a \in D$ называется предельной точкой множества $D$ , если в любой окрестности этой точки найдётся хоть один элемент из $D$ , т. е.

$\forall U_{a} \; \; \: \exists x \in D : \; \; \: x \in D .$

Если точка множества не является предельной, её называют изолированной.

Пусть задана некоторая функция $f: D \to X \subset \mathbb{R}$ и $a \in D$ — предельная точка области определения $D$ функции. Следующее определение называется определением предела функции по Коши (на языке $\epsilon$ — $\delta$ ).

Число $b \in \mathbb{R}$ называется пределом функции $f$ в точке $a$ , если справедливо

$\forall \epsilon >0 \; \; \: \exists \delta\left( \epsilon \right) >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0<\left| x - a \right| < \delta \implies \left| f\left( x \right) - b \right| < \epsilon .$

Этот факт обозначается следующим образом

$\lim_{x \to a} f\left( x \right) = b \; \; \: \left( f\left( x \right) \to b, \ x\to a \right) .$

То же определение предела функции по Коши, но на языке окрестностей выглядит так

$\forall V_{b} \; \; \: \exists U_a^{\circ}: \; \; \: f\left( U_a^{\circ} \cap D \right) \subset V_b$

или

$\forall \epsilon > 0 \; \; \: \exists \delta >0: \; \; \: f\left( U_a^{\circ}\left( \delta \right) \cap D \right) \subset V_b\left( \epsilon \right) .$

Пусть снова задана функция $f: D \to X \subset \mathbb{R}$ и $a \in D$ — предельная точка $D$ . Следующее определение называется определением предела функции по Гейне.

Число $b \in \mathbb{R}$ называется пределом функции $f$ в точке $a$ , если выполняется

$\forall \left\{ x_n \right\} \subset D \setminus \left\{ a \right\}, \ x_n \to a \ \left( n\to \infty\right) : \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = b .$

Согласно критерию Гейне определения предела по Коши и по Гейне равносильны.

Пусть задана функция $f: D \to X \subset \mathbb{R}$ , при этом $D$ не ограничена сверху (снизу, сверху и снизу). Число $b$ называется пределом функции $f$ на $+\infty$ ( $-\infty, \ \infty$ ), если

$\begin{align*} &\forall \epsilon > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: x > \Delta \implies \left| f\left( x \right) - b \right| < \epsilon \\ \bigr( &\forall \epsilon > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: x < -\Delta \implies \left| f\left( x \right) - b \right| < \epsilon, \\ &\forall \epsilon > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: \left| x \right| > \Delta \implies \left| f\left( x \right) - b \right| < \epsilon \bigr) .\end{align*}$

Функция называется бесконечно большой при $x\to a$ , если

$\lim_{x \to a} f\left( x \right) = \infty \xLeftrightarrow{\text{def}} \forall A>0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < \left| x - a \right| < \delta \implies \left| f\left( x \right) \right| > A .$

Заменяя $\left| f\left( x \right) \right| > A$ на $f\left( x \right) > A$ и $f\left( x \right) < -A$ соответственно, получают знакоопределённые бесконечно большие пределы

$\lim_{x \to a} f\left( x \right) = +\infty, \; \; \: \lim_{x \to a} f\left( x \right) = -\infty .$

Аналогично определяются бесконечно большие функции при $x\to \infty$ , $x\to \pm \infty$ .

Пусть задана функция $f: D \to X \subset \mathbb{R}$ и $a$ — предельная точка $D$ . Число $b$ называется правым (левым) пределом функции $f$ в точке $a$ , если

$\begin{align*} &\forall \epsilon >0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < x-a < \delta \to \left| f\left( x \right) -b \right| < \epsilon \\ \bigr( &\forall \epsilon >0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < a-x < \delta \to \left| f\left( x \right) -b \right| < \epsilon \bigr) ,\end{align*}$

и обозначается

$\lim_{x \to a+0} f\left( x \right) = f\left( a +0 \right) \; \; \: \left( \lim_{x \to a-0} f\left( x \right) = f\left( a -0 \right) \right) .$

Правый и левый пределы называются односторонними пределами. Справедлив следующий критерий существования предела функции: функция имеет предел тогда и только тогда, когда оба её односторонних предела существуют, и они равны.

Задачи и упражнения

Уровни сложности задач

простая задача

средняя задача

сложная задача

олимпиадная задача

Скачать все решения в .pdf формате

Задача средняя (1)

Сформулировать следующие утверждения в соответствии с определением предела по Коши (на языке $\epsilon-\delta$ и на языке окрестностей) и по Гейне

$\begin{align*} 1) & \lim_{x \to a} f\left( x \right) = b, &13)& \lim_{x \to a+0} f\left( x \right) = \infty, \\ 2) & \lim_{x \to a-0} f\left( x \right) = b, &14)& \lim_{x \to a+0} f\left( x \right) = -\infty, \\ 3) & \lim_{x \to a+0} f\left( x \right) = b, &15)& \lim_{x \to a+0} f\left( x \right) = +\infty, \\ 4) & \lim_{x \to \infty} f\left( x \right) = b, &16)& \lim_{x \to \infty} f\left( x \right) = \infty, \\ 5) & \lim_{x \to -\infty} f\left( x \right) = b, &17)& \lim_{x \to \infty} f\left( x \right) = -\infty, \\ 6) & \lim_{x \to +\infty} f\left( x \right) = b, &18)& \lim_{x \to \infty} f\left( x \right) = +\infty, \\ 7) & \lim_{x \to a} f\left( x \right) = \infty, &19)& \lim_{x \to -\infty} f\left( x \right) = \infty, \\ 8) & \lim_{x \to a} f\left( x \right) = -\infty, &20)& \lim_{x \to -\infty} f\left( x \right) = -\infty, \\ 9) & \lim_{x \to a} f\left( x \right) = +\infty, &21)& \lim_{x \to -\infty} f\left( x \right) = +\infty, \\ 10) & \lim_{x \to a-0} f\left( x \right) = \infty, &22)& \lim_{x \to +\infty} f\left( x \right) = \infty, \\ 11) & \lim_{x \to a-0} f\left( x \right) = -\infty, &23)& \lim_{x \to +\infty} f\left( x \right) = -\infty, \\ 12) & \lim_{x \to a-0} f\left( x \right) = +\infty, &24)& \lim_{x \to +\infty} f\left( x \right) = +\infty.\end{align*}$

Для каждого из случаев привести пример.

При рассмотрении определений односторонних пределов по Коши на языке окрестностей, сузьте область определения $D$ функции $f$ до множеств

$D_{a-} = D \cap \left(-\infty, a\right), \; \; \: D_{a+} = D \cap \left( a, +\infty \right) .$

В случае бесконечного возрастания аргумента и/или функции при формулировке определения на языке окрестностей воспользуйтесь окрестностями бесконечностей $U_{\infty}, \ U_{-\infty}, U_{+\infty}$ .

Для удобства введём обозначения

$D_{a-} = D \cap \left(-\infty, a\right), \; \; \: D_{a+} = D \cap \left( a, +\infty \right) .$

$f\left( x \right) \to b, \ x \to a$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall \epsilon > 0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < \left| x - a \right| < \delta \implies \left| f\left( x \right) - b \right| < \epsilon , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{b} \; \; \: \exists U_a^{\circ} : \; \; \: f\left( U_a^{\circ} \cap D \right) \subset V_b , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D \setminus \left\{ a \right\} , \ x_n \to a \ \left( n\to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = b , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to 2} x^2 = 4 ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to b, \ x \to a-0$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall \epsilon > 0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < a - x < \delta \implies \left| f\left( x \right) - b \right| < \epsilon , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{b} \; \; \: \exists U_a : \; \; \: f\left( U_a \cap D_{a-} \right) \subset V_b , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D_{a-} , \ x_n \to a \ \left( n\to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = b , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to -0} \text{sign } x = -1 ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to b, \ x \to a+0$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall \epsilon > 0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < x-a < \delta \implies \left| f\left( x \right) - b \right| < \epsilon , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{b} \; \; \: \exists U_a : \; \; \: f\left( U_a \cap D_{a+} \right) \subset V_b , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D_{a+} , \ x_n \to a \ \left( n\to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = b , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to +0} \text{sign } x = 1 ; \end{align*}$

$f\left( x \right) \to b, \ x \to \infty$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall \epsilon > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: \left| x \right| > \Delta \implies \left| f\left( x \right) - b \right| < \epsilon , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{b} \; \; \: \exists U_\infty : \; \; \: f\left( U_\infty \cap D \right) \subset V_b , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D, \ x_n \to \infty \ \left( n \to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = b , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to b, \ x \to -\infty$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall \epsilon > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: x < -\Delta \implies \left| f\left( x \right) - b \right| < \epsilon , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{b} \; \; \: \exists U_{-\infty} : \; \; \: f\left( U_{-\infty} \cap D \right) \subset V_b , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D, \ x_n \to -\infty \ \left( n \to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = b , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0 ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to b, \ x \to +\infty$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall \epsilon > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: x > \Delta \implies \left| f\left( x \right) - b \right| < \epsilon , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{b} \; \; \: \exists U_{+\infty} : \; \; \: f\left( U_{+\infty} \cap D \right) \subset V_b , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D, \ x_n \to +\infty \ \left( n \to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = b , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\ln x} = 0 ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to \infty, \ x \to a$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < \left| x - a \right| < \delta \implies \left| f\left( x \right) \right| > E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{\infty} \; \; \: \exists U_a^{\circ} : \; \; \: f\left( U_a^{\circ} \cap D \right) \subset V_\infty , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D \setminus \left\{ a \right\} , \ x_n \to a \ \left( n\to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = \infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - x} = \infty ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to -\infty, \ x \to a$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < \left| x - a \right| < \delta \implies f\left( x \right) < -E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{-\infty} \; \; \: \exists U_a^{\circ} : \; \; \: f\left( U_a^{\circ} \cap D \right) \subset V_{-\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D \setminus \left\{ a \right\} , \ x_n \to a \ \left( n\to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = -\infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to 0} -\frac{1}{x^2} = -\infty ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to +\infty, \ x \to a$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < \left| x - a \right| < \delta \implies f\left( x \right) > E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{+\infty} \; \; \: \exists U_a^{\circ} : \; \; \: f\left( U_a^{\circ} \cap D \right) \subset V_{+\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D \setminus \left\{ a \right\} , \ x_n \to a \ \left( n\to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = +\infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to 2} \frac{1}{\left( x -2 \right)^{4} } = +\infty ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to \infty, \ x \to a-0$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < a - x < \delta \implies \left| f\left( x \right) \right| > E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{\infty} \; \; \: \exists U_a : \; \; \: f\left( U_a \cap D_{a-} \right) \subset V_{\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D_{a-} , \ x_n \to a \ \left( n\to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = \infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to -0} \frac{1}{x} \cdot Q\left( x \right) = \infty, \; \; \: Q\left( x \right) = \begin{cases} -1, & x \in \mathbb{Q} \\ 1, & x \in \mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to -\infty, \ x \to a-0$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < a - x < \delta \implies f\left( x \right) < -E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{-\infty} \; \; \: \exists U_a : \; \; \: f\left( U_a \cap D_{a-} \right) \subset V_{-\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D_{a-} , \ x_n \to a \ \left( n\to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = -\infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to -1-0} \frac{1}{x + 1} = -\infty ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to +\infty, \ x \to a-0$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < a - x < \delta \implies f\left( x \right) > E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{+\infty} \; \; \: \exists U_a : \; \; \: f\left( U_a \cap D_{a-} \right) \subset V_{+\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D_{a-} , \ x_n \to a \ \left( n\to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = +\infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to -0} -\frac{1}{x} = +\infty ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to \infty, \ x \to a+0$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < x-a < \delta \implies \left| f\left( x \right) \right| > E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{\infty} \; \; \: \exists U_a : \; \; \: f\left( U_a \cap D_{a+} \right) \subset V_{\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D_{a+} , \ x_n \to a \ \left( n\to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = \infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to +0} \ln \left( x \right) \cdot Q\left( x \right) = \infty, \; \; \: Q\left( x \right) = \begin{cases} -1, & x \in \mathbb{Q} \\ 1, & x \in \mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to -\infty, \ x \to a+0$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < x - a < \delta \implies f\left( x \right) < -E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{-\infty} \; \; \: \exists U_a : \; \; \: f\left( U_a \cap D_{a+} \right) \subset V_{-\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D_{a+} , \ x_n \to a \ \left( n\to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = -\infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to \pi+0} \frac{1}{\sin x} = -\infty ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to +\infty, \ x \to a+0$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < x-a < \delta \implies f\left( x \right) > E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{+\infty} \; \; \: \exists U_a : \; \; \: f\left( U_a \cap D_{a+} \right) \subset V_{+\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D_{a+} , \ x_n \to a \ \left( n\to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = +\infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to +0} \ctg x = +\infty ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to \infty, \ x \to \infty$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: \left| x \right| > \Delta \implies \left| f\left( x \right) \right| > E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{\infty} \; \; \: \exists U_\infty : \; \; \: f\left( U_\infty \cap D \right) \subset V_{\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D, \ x_n \to \infty \ \left( n \to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = \infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to \infty} x \cdot Q\left( x \right) = \infty, \; \; \: Q\left( x \right) = \begin{cases} -1, & x \in \mathbb{Q} \\ 1, & x \in \mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to -\infty, \ x \to \infty$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: \left| x \right| > \Delta \implies f\left( x \right) < -E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{-\infty} \; \; \: \exists U_\infty : \; \; \: f\left( U_{\infty}\cap D \right) \subset V_{-\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D, \ x_n \to \infty \ \left( n \to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = -\infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to \infty} -x^2 = -\infty ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to +\infty, \ x \to \infty$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: \left| x \right| > \Delta \implies f\left( x \right) > E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{+\infty} \; \; \: \exists U_\infty : \; \; \: f\left( U_{\infty}\cap D \right) \subset V_{+\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D, \ x_n \to \infty \ \left( n \to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = +\infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to \infty} \left| x \right| = +\infty ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to \infty, \ x \to -\infty$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: x < -\Delta \implies \left| f\left( x \right) \right| > E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{\infty} \; \; \: \exists U_{-\infty} : \; \; \: f\left( U_{-\infty} \cap D \right) \subset V_{\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D, \ x_n \to -\infty \ \left( n \to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = \infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to -\infty} \sqrt{- x } \cdot Q\left( x \right) = \infty, \; \; \: Q\left( x \right) = \begin{cases} -1, & x \in \mathbb{Q} \\ 1, & x \in \mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to -\infty, \ x \to -\infty$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: x < -\Delta \implies f\left( x \right) < -E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{-\infty} \; \; \: \exists U_{-\infty} : \; \; \: f\left( U_{-\infty}\cap D \right) \subset V_{-\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D, \ x_n \to -\infty \ \left( n \to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = -\infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to -\infty} x = -\infty ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to +\infty, \ x \to - \infty$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: x < -\Delta \implies f\left( x \right) > E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{+\infty} \; \; \: \exists U_{-\infty} : \; \; \: f\left( U_{-\infty}\cap D \right) \subset V_{+\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D, \ x_n \to -\infty \ \left( n \to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = +\infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left| x \right| } = +\infty ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to \infty, \ x \to +\infty$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: x > \Delta \implies \left| f\left( x \right) \right| > E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{\infty} \; \; \: \exists U_{+\infty} : \; \; \: f\left( U_{+\infty} \cap D \right) \subset V_{\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D, \ x_n \to +\infty \ \left( n \to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = \infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to +\infty} \ln \left( x \right) \cdot Q\left( x \right) = \infty, \; \; \: Q\left( x \right) = \begin{cases} -1, & x \in \mathbb{Q} \\ 1, & x \in \mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} ; \end{align*}$

$f\left( x \right) \to -\infty, \ x \to +\infty$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: x > \Delta \implies f\left( x \right) < -E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{-\infty} \; \; \: \exists U_{+\infty} : \; \; \: f\left( U_{+\infty}\cap D \right) \subset V_{-\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D, \ x_n \to +\infty \ \left( n \to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = -\infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to +\infty} -x + \sin x = -\infty ; \end{align*}$

Rendered by QuickLaTeX.com

$f\left( x \right) \to +\infty, \ x \to + \infty$ :

$\begin{align*} \epsilon-\delta: & \; \; \: \forall E > 0 \; \; \: \exists \Delta >0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: x > \Delta \implies f\left( x \right) > E , \\ U_{a} : & \; \; \: \forall V_{+\infty} \; \; \: \exists U_{+\infty} : \; \; \: f\left( U_{+\infty}\cap D \right) \subset V_{+\infty} , \\ \text{Heine}: & \; \; \: \forall \left\{ x_n \right\} \subset D, \ x_n \to +\infty \ \left( n \to \infty \right): \; \; \: \lim_{n \to \infty} f\left( x_n \right) = +\infty , \\ \text{example}: & \; \; \: \lim_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty ; \end{align*}$

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача средняя (2)

Исходя из определения предела функции, доказать, что

$\lim_{x \to 3} x^2 = 9 .$

Рассмотрите модуль разности функции и её предельного значения. Пользуясь предположением $0 < \left| x - 3 \right| < \delta$ и свойствами модуля, оцените его сверху так, чтобы полученная оценка не зависела от $x$ (а только от $\delta$ ). Далее найдите диапазон возможных значений $\delta$ (этот диапазон зависит от $\epsilon$ ) из условия, что полученная ранее оценка модуля разности меньше $\epsilon$ . Выбрав любое $\delta$ из найденного интервала, доказательство будет закончено.

По определению Коши (на языке $\epsilon-\delta$ ) существование предела $x^2 \to 9, \ x \to 3$ означает следующее

$\forall \epsilon >0 \; \; \: \exists \delta > 0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < \left| x - 3 \right| < \delta \implies \left| x^2 - 9 \right| < \epsilon .$

Рассмотрим модуль разности функции и её предела

$\begin{align*} \left| x^2 - 9 \right| =& \left| x - 3 \right| \cdot \left| x + 3 \right| = \\ =& \left| x -3 \right| \cdot \left| x - 3 + 6 \right| < \\ <& \left| x - 3 \right| \cdot \left( \left| x - 3 \right| + 6 \right) < \\ <& \delta \cdot \left( \delta + 6 \right) < \epsilon .\end{align*}$

Решая неравенство $\delta^2 + 6\delta - \epsilon < 0$ , получим, что для выполнения условия $\left| x^2 - 9 \right| < \epsilon$ , достаточно взять

$\frac{-6 - \sqrt{6^2 + 4 \epsilon} }{2}< \delta < \frac{-6 + \sqrt{6^2 + 4 \epsilon} }{2} .$

Найденный диапазон вместе с требованием $\delta > 0$ даёт нам искомое

$\delta = \sqrt{9 + \epsilon} - 3 ,$

хотя в качестве $\delta$ вообще можно выбрать любое число из интервала $\left(0, \sqrt{9 + \epsilon} - 3\right)$ .

Для наглядности построим график рассматриваемой функции.

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача средняя (3)

Исходя из определения предела функции, доказать, что

$\lim_{x \to -3} \frac{x + 3}{\sin x + 2} = 0 .$

Рассмотрите модуль разности функции и её предельного значения. Пользуясь предположением $0 < \left| x + 3 \right| < \delta$ , оцените его сверху так, чтобы полученное выражение не зависело от $x$ (а только от $\delta$ ). Из условия, что оценка модуля разности меньше $\epsilon$ , для всякого произвольного $\epsilon>0$ определите соответствующее число $\delta$ . На этом доказательство будет закончено.

По определению Коши (на языке $\epsilon-\delta$ ) существование предела $\frac{x + 3}{\sin x + 2} \to 0, \ x \to -3$ означает следующее

$\forall \epsilon >0 \; \; \: \exists \delta > 0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < \left| x + 3 \right| < \delta \implies \left| \frac{x + 3}{\sin x + 2} - 0 \right| < \epsilon .$

Рассмотрим модуль разности функции и её предела

$\left| \frac{x + 3}{\sin x + 2} \right| < \left| x + 3 \right| < \delta < \epsilon .$

Отсюда следует, что в качестве $\delta$ можно взять $\delta\left( \epsilon \right) = \epsilon$ .

Для наглядности построим график рассматриваемой функции.

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача средняя (4)

Исходя из определения предела функции, доказать, что

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 1}{2x - 5} = \frac{3}{2} .$

Рассмотрите модуль разности функции и её предельного значения. Пользуясь предположением $\left| x \right| > \Delta$ , оцените его сверху так, чтобы полученное выражение не зависело от $x$ (а только от $\Delta$ ). Из условия, что оценка модуля разности меньше $\epsilon$ , для всякого произвольного $\epsilon>0$ определите соответствующее число $\Delta$ . На этом доказательство будет закончено.

По определению Коши (на языке $\epsilon-\delta$ ) существование предела $\frac{3x +1}{2x - 5} \to \frac{3}{2}, \ x \to \infty$ означает следующее

$\forall \epsilon > 0 \; \; \: \exists \Delta > 0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: \left| x \right| > \Delta \implies \left| \frac{3x + 1}{2x - 5} - \frac{3}{2} \right| < \epsilon .$

Рассмотрим модуль разности функции и её предела

$\begin{align*} \left| \frac{3x + 1}{2x - 5} - \frac{3}{2} \right| =& \left| \frac{2 \cdot \left( 3x + 1 \right) - \left( 2x - 5 \right)\cdot 3}{\left( 2x -5 \right) \cdot 2} \right| = \\ =& \left| \frac{17}{\left( 2x - 5 \right) \cdot 2} \right| \overset{D=\left\{ x:\ \left| x \right| > 5 \right\} }{<} \frac{17}{2x} < \\ <& \frac{17}{2 \Delta} < \epsilon .\end{align*}$

Отсюда следует, что в качестве $\Delta$ можно взять $\Delta\left( \epsilon \right) = \frac{17}{2\epsilon}$ .

Для наглядности построим график рассматриваемой функции.

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача средняя (5)

Исходя из определения предела функции, доказать, что

$\lim_{x \to -1} \sqrt[3]{28 + x} = 3 .$

Рассмотрите модуль разности функции и её предельного значения. Пользуясь предположением $\left| x + 1 \right| < \delta$ , оцените его сверху так, чтобы полученное выражение не зависело от $x$ (а только от $\delta$ ). Из условия, что оценка модуля разности меньше $\epsilon$ , для всякого произвольного $\epsilon>0$ определите соответствующее число $\delta$ . На этом доказательство будет закончено.

По определению Коши (на языке $\epsilon-\delta$ ) существование предела $\sqrt[3]{28 + x} \to 3, \ x \to -1$ означает следующее

$\forall \epsilon > 0 \; \; \: \exists \delta > 0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 <\left| x + 1 \right| < \delta \implies \left| \sqrt[3]{28+x} - 3 \right| < \epsilon .$

Рассмотрим модуль разности функции и её предела на множестве $D = \left( -28, +\infty \right)$ , а затем домножим и разделим её на такой множитель, чтобы в числителе получилась разность кубов

$\begin{align*} \left| \sqrt[3]{28+x} - 3 \right| =& \left| \frac{\left( \left( 28+x \right)^{\frac{1}{3}} - 3 \right) \cdot \left( \left( 28 + x \right)^{\frac{2}{3}} + \left( 28 + x \right)^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 9 \right) }{\left( \left( 28 + x \right)^{\frac{2}{3}} + \left( 28 + x \right)^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 9 \right)} \right| =\\ =& \left| \frac{\left( 28 + x \right) - 27}{\left( \left( 28 + x \right)^{\frac{2}{3}} + \left( 28 + x \right)^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 9 \right)} \right| < \\ &< \frac{\left| x + 1 \right|}{9} < \frac{\delta}{9} < \epsilon .\end{align*}$

Отсюда следует, что в качестве $\delta$ можно взять $\delta\left( \epsilon \right) = 9\epsilon$ .

Для наглядности построим график рассматриваемой функции.

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача средняя (6)

Исходя из определения предела функции, доказать, что

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\left( 1 - x \right)^2 } = +\infty .$

Пользуясь предположением $\left| x - 1 \right| < \delta$ , оцените функцию $\frac{1}{\left( 1 - x \right) ^2}$ снизу так, чтобы полученное выражение не зависело от $x$ (а только от $\delta$ ). Из условия, что значение функции больше $E$ , для всякого произвольного $E>0$ определите соответствующее число $\delta$ . На этом доказательство будет закончено.

По определению Коши (на языке $\epsilon-\delta$ ) существование предела $\frac{1}{\left( 1- x \right) ^2} \to +\infty, \ x \to 1$ означает следующее

$\forall E > 0 \; \; \: \exists \delta > 0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 <\left| x -1 \right| < \delta \implies \frac{1}{\left( x - 1 \right) ^2} > E .$

Рассмотрим функцию $\frac{1}{\left( 1-x \right) ^2}$ на всей числовой оси без единицы $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$

$\frac{1}{\left( 1-x \right) ^2} > \frac{1}{\delta^2} > E .$

Отсюда следует, что в качестве $\delta$ можно взять $\delta\left( E \right) = \frac{1}{\sqrt{E} }$ .

Для наглядности построим график рассматриваемой функции.

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача средняя (7)

Исходя из определения предела функции, доказать, что

$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \cos x = \frac{1}{2} .$

Рассмотрите модуль разности функции и её предельного значения. Используя тождество

$\cos x - \cos\frac{\pi}{3} = -2 \sin\left( \frac{x + \frac{\pi}{3}}{2} \right) \sin\left( \frac{x - \frac{\pi}{3}}{2} \right) ,$

неравенства $\left| \sin t \right| \le 1$ и $\left| \sin t \right| \le \left| t \right|$ , а также предположение $\left| x - \frac{\pi}{3} \right| < \delta$ , оцените модуль разности сверху так, чтобы полученное выражение не зависело от $x$ (а только от $\delta$ ). Из условия, что оценка модуля разности меньше $\epsilon$ , для всякого произвольного $\epsilon>0$ определите соответствующее число $\delta$ . На этом доказательство будет закончено.

По определению Коши (на языке $\epsilon-\delta$ ) существование предела $\cos x \to \frac{1}{2}, \ x \to \frac{\pi}{3}$ означает, что

$\forall \varepsilon > 0 \; \; \: \exists \delta > 0 \; \; \: \forall x \in \mathbb{R}: \; \; \: 0 < \left| x - \frac{\pi}{3} \right| < \delta \implies \left| \cos x - \frac{1}{2} \right| < \varepsilon .$

Далее нам потребуется тождество разности косинусов

$\cos x - \cos\frac{\pi}{3} = -2 \sin\left( \frac{x + \frac{\pi}{3}}{2} \right) \sin\left( \frac{x - \frac{\pi}{3}}{2} \right) .$

Рассмотрим модуль разности функции и её предела, используя оценки $\left| \sin x \right| \le 1$ и $\left| \sin t \right| \le \left| t \right| \; \; \: \forall x, t \in \mathbb{R}$ ,

$\begin{align*} \left| \cos x - \frac{1}{2} \right| =& \left| \cos x - \cos \frac{\pi}{3} \right| =\\ =& 2 \cdot \underbrace{\left| \sin\left( \frac{x + \frac{\pi}{3}}{2} \right) \right|}_{<1} \cdot \underbrace{\left| \sin\left( \frac{x - \frac{\pi}{3}}{2} \right) \right|}_{< \frac{\left| x - \frac{\pi}{3} \right| }{2}} < \\ <& \left| x - \frac{\pi}{3} \right| < \delta < \epsilon .\end{align*}$

Отсюда следует, что в качестве $\delta$ можно взять $\delta\left( \epsilon \right) = \epsilon$ .

Для наглядности построим график функции $\cos x$ в окрестности точки $x = \frac{\pi}{3}$ .

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача простая (8)

Выяснить существование предела

$\lim_{x \to 5} \left[ \frac{x}{5} \right] .$

Проверьте существуют ли и совпадают ли односторонние пределы, соответствующие пределу, данному в задаче.

Вычислим односторонние пределы

$\lim_{x \to 5 - 0} \left[ \frac{x}{5} \right] = 0, \; \; \: \lim_{x \to 5 + 0} \left[ \frac{x}{5} \right] = 1 .$

Поскольку они не совпадают, предел не может существовать

$\lim_{x \to 5 - 0} \left[ \frac{x}{5} \right] \neq \lim_{x \to 5 + 0} \left[ \frac{x}{5} \right] \implies \nexists \lim_{x \to 5} \left[ \frac{x}{5} \right] .$

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача простая (9)

Выяснить существование предела

$\lim_{x \to -\infty} \cos 10x .$

Рассмотрите две расходящиеся последовательности $a_n$ и $b_n$ , неограниченно убывающие к $-\infty$ , такие, что

$\lim_{n \to \infty} \cos\left( 10a_n \right) \neq \lim_{n \to \infty} \cos\left( 10b_n \right) .$

На основании этого, пользуясь определением предела функции по Гейне, сделайте вывод о существовании предела.

Рассмотрим две последовательности $x_n$ и $y_n$ , неограниченно убывающие к $-\infty$ ,

$\begin{align*} x_n = -\pi \cdot n:& \; \; \: -\pi, \ -2\pi, \ -3\pi, \ \ldots \ , \\ y_n = -\pi\cdot n + \frac{\pi}{20}:& \; \; \: -\pi+\frac{\pi}{20}, \ -2\pi +\frac{1}{20}\pi, \ -3\pi + \frac{1}{20}\pi, \ \ldots \ .\end{align*}$

Для этих последовательностей справедливо

$\begin{align*} &\lim_{n \to \infty} \cos \left( 10 x_n \right) = \lim_{n \to \infty} \cos \left( - 10\pi n \right) = 1, \\ &\lim_{n \to \infty} \cos \left( 10 y_n \right) = \lim_{n \to \infty} \cos \left( - 10\pi n + \frac{\pi}{2} \right) = 0 .\end{align*}$

Из определния предела функции по Гейне отсюда следует несуществование рассматриваемого предела

$\nexists \lim_{x \to -\infty} \cos\left( 10 x \right) .$

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача средняя (10)

Выяснить сходимость предела

$\lim_{x \to b} \sin \frac{a}{x-b}, \ a \neq 0 .$

Рассмотрите две последовательности $x_n$ и $y_n$ , сходящиеся к $b$ , такие, что

$\lim_{n \to \infty} \sin \frac{a}{x_n - b} \neq \lim_{n \to \infty} \sin \frac{a}{y_n - b} .$

Покажем, что выбрав соответствующие последовательности $x_n \to b, \ n\to \infty$ и $y_n \to b, \ n\to \infty$ , можно добиться одновременно

$\begin{align*} &\lim_{n\to \infty} \sin \frac{a}{x_n - b} = 0, \\ &\lim_{n \to \infty} \sin \frac{a}{y_n - b} = 1 .\end{align*}$

Для этого достаточно выполнения условий

$\frac{a}{x_n - b} = 2\pi n \implies x_n = \frac{a}{2\pi n} + b ,$

$\frac{a}{y_n - b} = 2\pi n + \frac{\pi}{2} \implies y_n = \frac{a}{2\pi n + \frac{\pi}{2}} + b .$

Нетрудно убедиться, что полученные последовательности действительно сходятся к $b$

$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \underbrace{\frac{a}{2\pi n}}_{\to 0} + b = b ,$

$\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \underbrace{\frac{a}{2\pi n + \frac{\pi}{2}}}_{\to 0} + b = b .$

Итак, в связи с определением предела по Гейне рассматриваемый предел не существует

$\nexists \lim_{x \to b} \sin \frac{a}{x-b}, \ a \neq 0 .$

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача средняя (11)

Выясните существование предела

$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} .$

Пользуясь определением предела по Коши, покажите, что данный предел равен нулю. При доказательстве воспользуйтесь очевидным неравенством

$\left| \sin \frac{1}{x} \right| \le 1 .$

Покажем, что рассматриваемый предел сходится к нулю.

По определению Коши (на языке $\epsilon-\delta$ ) существование предела $x \sin \frac{1}{x} \to 0, \ x \to 0$ означает следующее

$\forall \epsilon >0 \; \; \: \exists \delta > 0 \; \; \: \forall x \in D: \; \; \: 0 < \left| x \right| < \delta \implies \left| x \sin \frac{1}{x} - 0 \right| < \epsilon .$

Рассмотрим модуль разности функции и её предела

$\left| x \sin \frac{1}{x} - 0 \right| < \left| x \right| \cdot \underbrace{\left| \sin \frac{1}{x} \right|}_{\le 1} < \left| x \right| < \delta < \epsilon .$

Отсюда следует, что в качестве $\delta$ достаточно взять $\delta\left( \epsilon \right) = \epsilon$ . Итак, рассматриваемый предел существует и равен нулю.

NB! Из определения следует, что существование предела не зависит от значения функции в предельной точке. Более того, функция (как в данном примере) может вообще не существовать в предельной точке, но при этом сам предел будет иметь вполне конкретное значение.

Rendered by QuickLaTeX.com

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Определение предела функции

Теоретическая сводка

Задачи и упражнения

Уровни сложности задач

Theoremsy

О нас

Навигация

Социальные сети

Теоретическая сводка

Задачи и упражнения

Уровни сложности задач

О нас

Навигация

Социальные сети

Введите запрос и нажмите enter для поиска