Сходимость числовой последовательности по определению

Теоретическая сводка

Числовой последовательностью называется всякая функция натурального аргумента

(1) $\begin{equation*} f: \: \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \: n \to f\left( n \right) ,\end{equation*}$

и обозначается $a_n = f\left( n \right)$ . Числа $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ называются элементами числовой последовательности.

Постоянной числовой последовательностью называется последовательность $a_n = c = \text{const} \in \mathbb{R}$ .

Числовая последовательность называется ограниченной, если выполнено

(2) $\begin{equation*} \exists C > 0 \; \; \: \forall n \in \mathbb{N}: \; \; \: \left| a_n \right| \le C .\end{equation*}$

Число $a \in \mathbb{R}$ называется пределом числовой последовательности $\left\{ a_n \right\} \subset \mathbb{R}$ , если

(3) $\begin{equation*} \forall \epsilon>0 \; \; \: \exists N_\epsilon \in \mathbb{N} \; \; \: \forall n \ge N_\epsilon : \; \; \: \left| a_n - a \right| < \epsilon ,\end{equation*}$

и обозначается

$a = \lim_{n \to \infty} a_n \; \; \: \left( a_n \to a, \ n\to \infty \right) .$

Если предел последовательности существует, то последовательность называется сходящейся, а в противном случае — расходящейся.

Если $a_n \to a, \ n\to \infty$ и $b_n \to b, \ n\to \infty$ , то

$\begin{align*} 1) & \lim_{n \to \infty} \left( a_n \pm b_n \right) = a \pm b,\\ 2) & \lim_{n \to \infty} \left( a_n \cdot b_n \right) = a \cdot b,\\ 3) & \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} \; \; \: \left( b \neq 0, \ \forall n \in \mathbb{N}: \ b_n \neq 0 \right) .\end{align*}$

Задачи и упражнения

Уровни сложности задач

простая задача

средняя задача

сложная задача

олимпиадная задача

Скачать все решения в .pdf формате

Задача средняя (1)

Доказать по определению предела, что

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+2}=1 .$

Для всякого $\epsilon > 0$ определите число $N_\epsilon = N_{\epsilon}\left( \epsilon \right)$ такое, что $\forall n > N_\epsilon: \ \left| \frac{n}{n+2} -1 \right| < \epsilon$ .

Рассмотрим модуль разности числовой последовательности и предела

$\left| \frac{n}{n+2} -1 \right| = \left| \frac{-2}{n+2} \right| = \frac{2}{n+2} < \epsilon .$

Откуда

$\left| \frac{n}{n+2} -1 \right| < \epsilon,$

если выполнено

$n > \frac{2}{\epsilon} - 2 .$

Тогда в качестве искомого числа $N_\epsilon$ можно выбрать

$N_\epsilon = \left[ \frac{2}{\epsilon} \right] ,$

что по определению значит $\frac{n}{n+2}\to 1, \ n\to \infty$ .

Скачать решение в .pdf формате

Я нашёл ошибку!

Задача сложная (2)

Доказать, что последовательности $a_n = \frac{\left( -1 \right) ^{n+1}}{ n }$ и $b_n = \frac{5\sin (3n)}{n}$ , являются бесконечно малыми, т. е. что

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = 0 .$

Далее покажите, что любая последовательность $c_n = \frac{f\left( n \right) }{n}$ , где $c_n$ — ограниченная функция натурального аргумента (ограниченная последовательность), является бесконечно малой.

В доказательстве сходимости к нулю $a_n\ \left( b_n\right)$ для всякого $\epsilon > 0$ определите число $N_\epsilon = N_{\epsilon}\left( \epsilon \right)$ такое, что

$\forall n > N_\epsilon: \ \left| \frac{\left( -1 \right)^{n+1} }{n} - 0 \right| < \epsilon \ \left( \left| \frac{5\sin \left( 3n \right) }{n} - 0\right| < \epsilon \right) .$

При алгебраических преобразованиях воспользуйтесь оценками $\left| \left( -1 \right) ^{n+1} \right| = 1$ и $\left|5 \sin\left( 3n \right) \right| < 5$ . Для доказательства $c_n \to 0, \ n\to \infty$ проведите аналогичные рассуждения, используя неравенство из определения ограниченной последовательности (2).

Начнём с последовательности $a_n$ . Рассмотрим модуль разности общего члена последовательности и её предела

$\left| \frac{\left( -1 \right)^{n+1}}{n}-0 \right| = \frac{\left| \left( -1 \right) ^{n+1} \right| }{\left| n \right| } = \frac{1}{n} < \epsilon .$

То есть достаточно взять

$n > \frac{1}{\epsilon} ,$

чтобы выполнялось

$\left| a_n - 0 \right| < \epsilon .$

Тогда в качестве искомого числа $N^{a}_\epsilon$ можно выбрать

$N^{a}_\epsilon = \left[ \frac{1}{\epsilon} \right] + 1 ,$

откуда по определению следует $a_n \to 0, \ n\to \infty$ .

Проведём аналогичные рассуждения для последовательности $b_n$ , воспользовавшись известным фактом $\sin \alpha \le 1$

$\left| \frac{5 \sin \left( 3n \right) }{n}-0 \right| = 5 \frac{\left| \sin \left( 5n \right) \right| }{\left| n \right| } \le \frac{5}{n} < \epsilon .$

Откуда следует, что в качестве искомого номера можно взять $N^{b}_{\epsilon} = \left[ \frac{5}{\epsilon} \right] + 1$ .

Рассмотрим теперь обобщённый случай $c_n = \frac{f\left( n \right) }{n}$ . Поскольку $f\left( n \right)$ — ограниченная функция, можно найти такое $C \in \mathbb{R}$ , что выполняется $f\left( n \right) \le C \ \forall n \in \mathbb{N}$ . Пользуясь эти фактом, оценим разность